Hovorí sa, že Philo z Alexandrie raz okolo roku 0 povedal, že „Svet bol stvorený za 6 dní a mesiac obieha Zem raz za 28 dní preto, že 6 a 28 sú dokonalé čísla.“
Dokonalé čísla sú čísla, ktoré sú rovné súčtu všetkých svojich deliteľov (okrem seba samého). Najmenšie dokonalé číslo je teda 6, pretože 6 = 1 + 2 + 3. Ďalšie takéto číslo je 28, pretože 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. To zaujímavé, naozaj zaujímavé, som sa dozvedela na jednej hodine dejepisu u deviatakov, kde som mala zastupovanú hodinu :D.
O dokonalých číslach sa vie, že sa dajú zapísať v tvare 2n–1 (2n — 1), ale len v prípade, že 2n — 1 je prvočíslo. Takéto prvočísla sa nazývajú Mersennove prvočísla. V súčasnosti je známych 51 Mersennovych prvočísel a teda aj 51 dokonalých čísel.
Čo bola pre mňa ale novinka je fakt, že keď zapíšeme dokonalé číslo v dvojkovej číselnej sústave (o dvojkovej číselnej sústave si prečítajte https://www.jankafialka.sk/?p=59), tak bude vyzerať nejako takto: 111110000. Vždy samé jednotky a potom len samé nuly. A tých núl je vždy o jednu menej ako jednotiek. Náhoda? Platí to pre všetky dokonalé čísla? Prečo? Tak o tom bude tento článoček.
Skúsme si napísať prvých niekoľko dokonalých čísel ako súčet svojich deliteľov a zároveň ich prepíšeme do dvojkovej sústavy tak, že preusporiadame a zoskupíme deliteľov:
6 = 1 + 2 + 3 = (1 + 3) + 2 =
1 · 4 + 1 · 2 + 0 = 1102
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 =
(2 + 14) + (1 + 7) + 4 =
1 · 16 + 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 0 = 111002
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 =
(8 + 248) + (4 + 124) + (2 + 62) + (1 + 31) + 16 =
1 · 256 + 1 · 128 + 1 · 64 + 1 · 32 + 1 · 16 + 0 · 8 + 0 · 4 + 0 · 2 + 0 = 1111100002
Takže pre prvé tri dokonalé čísla to platí. Nebudeme to ale takýmto spôsobom overovať pre všetky známe, keďže najväčšie z nich má viac ako 49 miliónov cifier. Namiesto toho urobíme niečo oveľa lepšie. Spravíme dôkaz, že tento tvar majú v dvojkovej sústave všetky dokonalé čísla. Teda aj tie, ktoré ešte neboli nájdené. Vychádzať budeme zo známeho tvaru, ktorý som už vyššie spomínala. Dokonalé čísla majú tvar 2n–1 (2n — 1), pričom 2n — 1 je Mersennove prvočíslo. Označme ho písmenkom p.
Takže dokonalé číslo má tvar 2 · 2 · 2 · 2 · … · 2 · p.
Aké delitele má takéto číslo? No, pravdaže, delitele budú všetky mocniny dvojky až do 2n–1 , potom tam bude to prvočíslo p a ďalej všetky násobky tohto prvočísla s tými mocninami dvojky, ale bez poslednej, pretože to už by bolo to samo dokonalé číslo, ktoré medzi deliteľov teraz počítať nebudeme. Čiže p, 2p, 4p, …, 2n–2p.
Teda súčet všetkých deliteľov je
S = 1 + 2 + 4 + … + 2n–2 + 2n–1 +
+ p + 2p + 4p + … + 2n–2 p
V hornom súčte nie sú čísla pod sebou podpísané náhodne. Tieto budeme totiž zoskupovať a uvidíme, ako nám spolu vytvárajú mocniny dvojky.
S = (p + 1) + (2p + 2) + (4p + 4) + … + 2n–2(p + 1) + 2n–1
Keďže číslo p má tvar p = 2n — 1, tak p + 1 = 2n.
A teda náš súčet bude vyzerať takto:
S = 2n + 2 · 2n + 4 · 2n + … + 2n–2 · 2n + 2n–1
Po drobných úpravách a usporiadaní od najväčšej mocniny dostávame S = 22n–2 + … + 2n+2 + 2n+1 + 2n + 2n–1
A to je v dvojkovej sústave presne to, čo sme chceli dostať – najprv samé jednotky, konkrétne n kusov a potom len nuly, ktorých je o jednu menej.
Takže to nie je náhoda a skutočne všetky dokonalé čísla sú tohto tvaru. Dokonca môžeme povedať, že všetky čísla (nielen dokonalé) tvaru 2n–1 (2n — 1) majú v dvojkovej sústave tvar 11111…10000…0 (n jednotiek a n — 1 núl). Pretože
22n–2 + … + 2n+2 + 2n+1 + 2n + 2n–1 = 2n–1(1 + 2 + 4 + … + 2n–1 )
a to v zátvorke je geometrická postupnosť, ktorej súčet je 2n — 1. (Ak si spomínate na vzorec sk = (qk+1 — 1)/(q — 1), pričom naše q = 2.)
Alebo inak povedané to, že číslo 2n–1 (2n — 1) má v dvojkovej sústave tvar 11111…10000…0 je analogické tvrdeniu, že v desiatkovej sústave je číslo napríklad 100 · (1000 — 1) = 99900. A toto je nám vcelku jasné. 🙂
Čísel, ktoré sa dajú zapísať spôsobom 1111…1000…0 je teda naozaj veľa. Dokonalé sú ale iba tie z nich, pre ktoré je 2n — 1 prvočíslo. A tých je prekvapivo málo, aj keď je ich nekonečne veľa 😁. Vysvetlím. Naozaj je ich nekonečne veľa, ale doteraz poznáme iba prvých 51 z nich. To posledné bolo nájdené v decembri 2018 a je tak veľké, že keby sme ho chceli zapísať do knihy, táto kniha by mala niekoľko tisíc strán husto popísaných iba číslicami tvoriacimi toto číslo. A keby sme ho chceli prečítať a hovorili by sme rýchlosťou 5 číslic za sekundu, tak by sme museli bez prestávky rozprávať viac ako tri mesiace. A to je iba päťdesiateprvé dokonalé číslo. Aké veľké budú ďalšie? Uvidíme…
Čo ale vieme povedať s absolútnou istotou je fakt, že v dvojkovej číselnej sústave budú mať tvar 1111…1000…0, pričom jednotiek bude presne n. To n, ktoré zodpovedá Mersennovmu prvočíslu 2n — 1.
Kompletný zoznam doteraz nájdených dokonalých čísel nájdete na https://en.m.wikipedia.org/wiki/List_of_Mersenne_primes_and_perfect_numbers.