Skúsme si predstaviť takúto zábavku: z kopy rovnako veľkých kociek vyberieme určitý počet a skúšame, či spolu vytvoria nejaký štvorec, obdĺžnik alebo dokonca kocku, či kváder. Skúmame, aký počet je taký najsympatickejší. Zo šestky vieme spraviť len obdĺžnik 2×3, z dvanástky máme hneď niekoľko možností: obdĺžnik 2×6, 3×4 alebo kváder 2x2x3. Dohodneme sa, že každá strana musí mať minimálne dve kocky, takže napríklad 1×12 nebudeme považovať za obdĺžnik. Takto nejako vieme zaviesť pojem prvočíslo – to sú tie nezaujímavé, nedá sa z nich spraviť nič. O prvočíslach sa toho ale dá povedať oveľa viac.
Prečo 1 nie je prvočíslo
V skutočnosti by ale došlo k menšej nepresnosti. Jednotka totiž nie je prvočíslo, aj keď sa z nej tiež obdĺžnik spraviť nedá. Dôvod, prečo jednotku nepočítame medzi prvočísla, je celkom praktický. Súvisí s tým, k čomu by sme hrou na rozklady dospeli: každé číslo sa dá rozložiť na súčin prvočísel práve jedným spôsobom (neberieme do úvahy poradie, čiže 2x2x3 je to isté ako 3x2x2 aj 2x3x2 – stále je to ten istý kváder, len inak otočený). Ak by sme medzi prvočísla počítali aj jednotku, tak by sa to celé pokazilo – preto sme aj zaviedli pravidlo, že na každej strane musia byť aspoň dve kocky.
Teraz môžeme upgradovať hru tým, že roztriedime čísla na prvočísla 1D, obdĺžnikové a štvorcové čísla 2D, kvádrové a kockové čísla 3D a ďalšie, ktoré už neznázorňujeme, keďže žijeme v 3D svete.
Číslu priradíme najvyššiu možnú dimenzionalitu. Veď každé kvádrové číslo sa dá dať aj do obdĺžnika často hneď niekoľkými spôsobmi, do kvádra ale len jedným. Takto uvidíme, že naozaj vytvárame rozklad každého čísla na súčin prvočísel.
Pre čísla do dvadsať by to vyzeralo takto:
1D: 2,3,5,7,11,13,17,19,
2D: 4,6,9,10,14,15,
3D: 8,12,18,
4D: 16.
O prvočíslach ako stavebných kameňoch
Teraz trošku odbočím od témy. O prvočíslach sa hovorí, že sú to základné stavebné kamene všetkých prirodzených čísel. Toto nie je celkom pravda, pokiaľ nespresníme, že je to vzhľadom na násobenie. Ak totiž uvažujeme nad číslami z pohľadu sčítavania, základným stavebným kameňom je jednotka. Každé číslo vieme predsa zapísať ako súčet samých jednotiek. Čiže máme jeden jediný stavebný kameň.
Pri násobení je ale situácia oveľa náročnejšia. Jednak hneď vidíme, že jednotka nielen že nie je stavebným kameňom žiadneho čísla. Ona je dokonca úplne bezmocná. Môžeme ňou násobiť hocičo koľkokrát len chceme, nič sa nestane. Stavebnými kameňmi sú totiž práve prvočísla, ako sme už pochopili z predchádzajúcich úvah. A koľko ich vlastne je? Nekonečne veľa. Zasa to nekonečno 😁.
Dôkaz teraz vynechám a prenesieme sa v predstavách do povestného nekonečného hotela.
Nekonečný hotel o prvočíslach
Predstavme si, že kráčame po nekonečnej chodbe a sledujeme čísla izieb. Izbu, ktorá má na dverách prvočíslo, nejakým spôsobom označíme: dáme na ňu nálepku, napríklad. Zo začiatku sa nám budú nálepky míňať pomerne rýchlo, ale čím ďalej pôjdeme, tým viac sa nachodíme, kým nejaké prvočíslo nájdeme. Teraz je na mieste otázka, ako vlastne zistíme, či nejaké číslo je prvočíslo.
U malých čísel je to ľahké. Stačí vyskúšať, či sa dá vydeliť menšími prvočíslami. Koľkými? Všetkými, ktoré sú menšie ako druhá odmocnina daného čísla. Prečo druhá odmocnina? V najhoršom prípade je dané číslo obdĺžnikové, čiže je súčinom dvoch prvočísel. Akých najväčších? Maximálne dvoch rovnako veľkých. Tak preto. Príklad: je 119 prvočíslo? Odmocnina zo 119 je niečo medzi 10 a 11. Takže stačí vyskúšať prvočísla menšie ako 11. A na tie máme ešte šikovné pomôcky – kritériá deliteľnosti. Deliteľnosť dvojkou a päťkou poznáme na prvý pohľad, deliteľnosť trojkou na druhý: z ciferného súčtu. Stačí teda vyskúšať sedmičku. 119:7=17. Takže to nie je prvočíslo.
Je to pekná metóda, ale asi už tušíte, s akými problémami sa pri kráčaní po nekonečnej chodbe budeme stretávať. Pred niektorými dverami budeme musieť stráviť celú večnosť, kým vypočítame všetky podiely.
Zbadali sme už, že na prvočísla narážame stále menej často, ale nie je v tom žiadna pravidelnosť. Z času na čas narážame na dve po sebe idúce prvočísla (nie úplne po sebe, je medzi nimi jedno párne číslo). Volajú sa prvočíselné dvojčatá a je ich koľko? Hádajte. 😉
A potom sa zasa stane, že celú večnosť nenarazíme na žiadne. Až to vyzerá, že už sa všetky minuli. Ale nie. Pokračujeme ďalej a natrafíme na ďalšie. Keď už som vynechala dôkaz, že prvočísel je naozaj nekonečne veľa. Nie, nemôžem. 🤪 Tak aspoň naznačím: dôkaz sporom – ak ich je konečne veľa, všetky navzájom vynásobíme, pridáme+1 k tomu súčinu a výsledok je čo? Mal by to byť násobok niektorého prvočísla, ale zároveň nemôže byť kvôli tej +1.
Medzera medzi prvočíslami
Môže sa stať, že povedzme medzi sto po sebe idúcimi číslami nebude žiadne prvočíslo? Alebo môže byť takáto medzera aj väčšia? Ako veľmi veľká?
Môže. A môže byť hocijako veľmi veľká. Dokonca viem predpovedať, kde sa to určite stane. (To ale neznamená, že na takú medzeru nenarazíme aj skôr.)
Takže, ak chceme prejsť popri stovke dvier bez minutia jedinej nálepky (na označovanie prvočísel), stačí sa posunúť ku dverám, ktorých číslo je násobkom všetkých prvočísel menších alebo rovných 101. A ešte o dve čísla ďalej. Odtiaľto ďalších sto čísel bude vždy násobkom niektorého prvočísla do 101.
Ukážem to radšej na menšom príklade: Povedzme, že chceme medzeru dĺžky 9. Vynásobíme prvočísla menšie alebo rovné 10: 2•3•5•7=210. Posunieme sa o dvoje dvere: od 212 budú iba zložené čísla. Teda bude ich aspoň deväť. A naozaj 212 je násobok dvojky, 213 trojky, 214 dvojky, 215 päťky, 216 dvojky, 217 sedmičky, 218 dvojky, 219 trojky, 220 dvojky. A takto si vieme nájsť ľubovoľne veľkú medzeru medzi dvoma prvočíslami.
Prvočísla teda vôbec nie sú také nezaujímavé, ako som vyššie naznačovala. Naopak. Vyhľadávanie obrovských prvočísel je nikdy nekončiaca zábava. A táto zábava má dokonca aj praktické využitie. Pozri tu – RSA šifrovanie.