Záporné čísla nepatria k úplne najobľúbenejším témam na hodinách matematiky na základnej škole. Je to dané tak trochu historicky. Záporné čísla sa v Európe veľmi dlho nepovažovali za rovnocenné tým kladným. Ľudia si totiž číslo predstavovali ako počet alebo dĺžku. Počet mincí alebo dĺžka cesty nemôže byť predsa záporná. Na ďalekom východe ale záporné čísla existujú už odnepamäti. Záporné a kladné čísla vnímajú ako vzájomne opačné. Ako teplo a chlad.
1. Zoznámenie
Pozrite si túto animáciu:
Všimli ste si, čo sa tam deje? Červené a modré guľôčky sa pri stretnutí vzájomne zrušia.
2. Uhádnite, čo zostane
Je čas na prvú úlohu. Vyskúšajte uhádnuť, koľko akých guľôčok zostane pred tým, než animácia úlohu vyrieši sama.
Na začiatku bolo červených a modrých guľôčok.
Výsledok:
3. Čo mohlo byť na začiatku?
Teraz opačná úloha - ak chceme, aby nakoniec zostalo guľôčok, koľko mohlo byť na začiatku červených a koľko modrých?
Na začiatku mohlo byť:
Vyskúšajte viac možností, ako dostať ten istý výsledok.
Čo ďalej
Ak sa dohodneme, že červená guľôčka je kladná jednotka a modrá guľôčka záporná jednotka, získali sme práve pekný model celých čísel. Presvedčili sme sa o tom, že jedno celé číslo sa dá znázorniť rôznymi dvojicami. Napr. -2 je 5 červených a 7 modrých alebo len dve modré alebo ... (nekonečne veľa možností).
Na tomto by sme mohli postaviť aj operácie - sčítanie ako pridávanie guľôčok, odčítanie ako odoberanie, násobenie a delenie tak, ako sme zvyknutí s jednou úpravou.
Sčítanie a odčítanie
Začnime jednoduchým príkladom, koľko je -2 + 5? Máme tu dve čísla -2 a 5 a operáciu +. Začneme prvým číslom. -2 znamená, že máme dve modré guľôčky. Operácia + znamená, že budeme pridávať. Druhé číslo je kladné, takže pridáme 5 červených guľôčok. Čo bude výsledkom? Dve modré a dve červené sa zrušia navzájom, takže zostanú tri červené. -2 + 5 = 3. Žiadna veľká veda. Stačí si dať pozor na to, že modrá guľôčka sa označuje tak, že pred číslo sa dá mínus.
Odčítanie môže byť veľmi jednoduché, napr. -5 ‒ (-3). Tu máme päť modrých guľôčok a odoberáme z nich tri modré. Zostanú nám teda dve modré -5 ‒ (-3) = -2.
Môže ale nastať drobná komplikácia - nemáme čo odoberať. Napr. 1 ‒ 4 znamená, že máme na začiatku jednu červenú guľôčku. Ale mohla to byť aj skupina desiatich červených a deviatich modrých alebo štyroch červených a troch modrých. Odobrať štyri červené tak nemusí byť problém. Keď máme štyri červené a tri modré, štyri červené môžeme odstrániť a zostanú nám iba tie tri modré. Preto 1 ‒ 4 = -3.
Alebo 3 ‒ (-2) znamená, že máme tri červené guľôčky a chceme odobrať dve modré. Vyzerá to na prvý pohľad neriešiteľne, ale my si vieme poradiť. Keď máme tri červené guľôčky, tak oni mohli byť pokojne znázornené aj napríklad piatimi červenými a dvoma modrými predtým, než sa navzájom zrušili. V tomto stave by sme dve modré odobrať mohli. Takže 3 ‒ (-2) = 5.
Násobenie a delenie
Na rozdiel od sčítania a odčítania, v úlohách na násobenie a delenie, iba prvé číslo znamená počet a farbu guľôčok. Druhé číslo spolu s operáciou určuje, čo sa bude robiť. (-3) ∙ 4 znamená, že máme tri modré guľôčky a ich počet potrebujeme zoštvornásobiť. Preto (-3) ∙ 4 = -12. Podobne 20 : 4 = 5, pretože 20 červených guľôčok sme rozdelili na štyri rovnaké skupiny. V každej skupinke bolo potom 5 červených guľôčok.
Ak delíme alebo násobíme záporným číslom, stane sa jedna vec navyše. Pôvodné guľôčky, charakterizujúce prvé číslo príkladu, sa prefarbia na opačnú farbu, z modrých budú červené a z červených modré. Takže, napr. 10 : (-2) znamená, že máme desať červených guľôčok, budeme ich deliť na dve časti a ešte ich nezabudmene všetky prefarbiť na modro. Dalo by sa to zapísať aj ako 10 : (-2) = (-10) : 2 = -5.
Vyskúšajte sa
Teória je jedna vec. Poďme si overiť, či ju budete vedieť použiť v konkrétnych úlohách.
- {{ number1a }} + {{ zp1}}{{number1b}}{{zz1 }} =
- {{ number2a }} + {{ zp2}}{{number2b}}{{zz2 }} =
- {{ number3a }} + {{ zp3}}{{number3b}}{{zz3 }} =
- {{ number4a }} + {{ zp4}}{{number4b}}{{zz4 }} =
- {{ number5a }} + {{ zp5}}{{number5b}}{{zz5 }} =
- {{ number6a }} ‒ {{ zp6}}{{number6b}}{{zz6 }} =
- {{ number7a }} ‒ {{ zp7}}{{number7b}}{{zz7 }} =
- {{ number8a }} ‒ {{ zp8}}{{number8b}}{{zz8 }} =
- {{ number9a }} ‒ {{ zp9}}{{number9b}}{{zz9 }} =
- {{ number10a }} ‒ {{ zp10}}{{number10b}}{{zz10 }} =
- {{ number11a }} ⋅ {{ zp11}}{{number11b}}{{zz11 }} =
- {{ number12a }} ⋅ {{ zp12}}{{number12b}}{{zz12 }} =
- {{ number13a }} ⋅ {{ zp13}}{{number13b}}{{zz13 }} =
- {{ number14a }} ⋅ {{ zp14}}{{number14b}}{{zz14 }} =
- {{ number15a }} ⋅ {{ zp15}}{{number15b}}{{zz15 }} =
- {{ number16a }} : {{ zp16}}{{number16b}}{{zz16 }} =
- {{ number17a }} : {{ zp17}}{{number17b}}{{zz17 }} =
- {{ number18a }} : {{ zp18}}{{number18b}}{{zz18 }} =
- {{ number19a }} : {{ zp19}}{{number19b}}{{zz19 }} =
- {{ number20a }} : {{ zp20}}{{number20b}}{{zz20 }} =
Na záver sa môžete trochu zahrať.
Komentáre
| J | Kristína, vyššie mám príklad 3-(-2). Takže 16-(-4) sa spraví analogicky, len nie v tejto appke. Skúste kreslením na tabuľu. Nakreslíte 16 červených, pýtate sa, koľko to je, prihadzujete dvojice jedna červená a jedna modrá a pýtate sa, aké číslo to je. Žiaci by už mali vedieť, že stále 16. A pýtate sa, či už môžeme 4 modré škrtnúť... |
| Kristína | Dobrý deň, ako žiakom vysvetliť príklad typu 16-(-4)=? Ďakujem:) |
| J | Je to parádne. |